حل تمرین صفحه 93 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 93 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین مجموعه‌ای از نامعادلات خطی، گویا، قدرمطلقی و درجه دوم است که روش‌های حل متفاوتی دارند. ### **الف) $\mathbf{1 < 2x - 3 \le 5}$ (نامعادله دوگانه)** **گام ۱: حل** به هر سه طرف $3$ اضافه می‌کنیم: $$1 + 3 < 2x \le 5 + 3 \Rightarrow 4 < 2x \le 8$$ بر $2$ تقسیم می‌کنیم: $$2 < x \le 4$$ **مجموعه جواب:** $\mathbf{(2, 4]}$ --- ### **ب) $\mathbf{x + 1 \le 5 - x < 2x + 3}$ (دستگاه نامعادلات)** این نامعادله را به دو نامعادله تفکیک می‌کنیم و اشتراک می‌گیریم: **۱. $\mathbf{x + 1 \le 5 - x}$:** $$x + x \le 5 - 1 \Rightarrow 2x \le 4 \Rightarrow \mathbf{x \le 2} \quad \mathbf{(I)}$$ **۲. $\mathbf{5 - x < 2x + 3}$:** $$5 - 3 < 2x + x \Rightarrow 2 < 3x \Rightarrow \mathbf{x > \frac{2}{3}} \quad \mathbf{(II)}$$ **اشتراک ($athbf{I \cap II}$):** $$rac{2}{3} < x \le 2$$ **مجموعه جواب:** $\mathbf{(\frac{2}{3}, 2]}$ --- ### **پ) $\mathbf{-2 < \frac{5 - x}{2} < 0}$ (نامعادله دوگانه کسری)** **گام ۱: حذف مخرج $2$ (ضرب در ۲)** $$-2 \times 2 < 5 - x < 0 \times 2 \Rightarrow -4 < 5 - x < 0$$ **گام ۲: حذف $\mathbf{+5}$ (منهای ۵ از هر سه طرف)** $$-4 - 5 < -x < 0 - 5 \Rightarrow -9 < -x < -5$$ **گام ۳: حذف $\mathbf{-1}$ (ضرب در $-1$ و تغییر جهت نامعادلات)** $$9 > x > 5 \quad \text{یا} \quad 5 < x < 9$$ **مجموعه جواب:** $\mathbf{(5, 9)}$ --- ### **ت) $\mathbf{\frac{4 - 2x}{3x + 1} \ge 0}$ (نامعادله گویا)** **گام ۱: ریشه‌های صورت و مخرج** * **صورت:** $4 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$ * **مخرج:** $3x + 1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow \mathbf{x = -\frac{1}{3}}$ (تعریف نشده) **گام ۲: تعیین علامت** * $athbf{4 - 2x}$: $a=-2$ (علامت $x > 2$ منفی است.) * $athbf{3x + 1}$: $a=+3$ (علامت $x > -\frac{1}{3}$ مثبت است.) | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-\frac{1}{3}$ | $2$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{4-2x}$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $\mathbf{3x+1}$ | $-$ | ن.ت. | $+$ | $+$ | | $\mathbf{\text{کل کسر}}$ | $\mathbf{-}$ | ن.ت. | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | **نتیجه:** ناحیه‌ی $\mathbf{\ge 0}$ مورد نیاز است. **مجموعه جواب:** $\mathbf{(-\frac{1}{3}, 2]}$ (ریشه مخرج باز و ریشه صورت بسته است.) --- ### **ث) $\mathbf{x(x^2 + 4) < 0}$ (نامعادله چندجمله‌ای)** **گام ۱: ریشه‌های عوامل** * **عامل اول ($x$):** $athbf{x = 0}$ * **عامل دوم ($x^2 + 4$):** $athbf{x^2 = -4}$. ریشه‌ی حقیقی ندارد. (چون $x^2 + 4$ همواره مثبت است.) **گام ۲: تعیین علامت** * $athbf{x^2 + 4}$: همواره **مثبت** است. * $athbf{x}$: تغییر علامت در $x=0$. * **کل عبارت:** $\text{علامت } x \times \text{مثبت} = \text{علامت } x$ نامعادله $\mathbf{x < 0}$ را می‌خواهد. **مجموعه جواب:** $\mathbf{(-\infty, 0)}$ --- ### **ج) $\mathbf{|7 - 2x| < 1}$ (نامعادله قدرمطلقی - کوچکتر)** **قاعده:** $|A| < b \Leftrightarrow -b < A < b$ $$-1 < 7 - 2x < 1$$ **گام ۱: حذف $\mathbf{7}$** $$-1 - 7 < -2x < 1 - 7 \Rightarrow -8 < -2x < -6$$ **گام ۲: حذف $\mathbf{-2}$ (تقسیم بر $-2$ و تغییر جهت)** $$\frac{-8}{-2} > x > \frac{-6}{-2} \Rightarrow 4 > x > 3$$ **مجموعه جواب:** $\mathbf{(3, 4)}$ --- ### **چ) $\mathbf{|\frac{x - 1}{2} - 1| \ge 3}$ (نامعادله قدرمطلقی - بزرگتر)** **گام ۱: ساده‌سازی داخل قدرمطلق** $$\left|\frac{x - 1}{2} - \frac{2}{2}\right| \ge 3 \Rightarrow \left|\frac{x - 3}{2}\right| \ge 3$$ **گام ۲: تفکیک به دو نامعادله** $$\frac{x - 3}{2} \le -3 \quad \text{یا} \quad \frac{x - 3}{2} \ge 3$$ **گام ۳: حل نامعادله‌ها** 1. $$\frac{x - 3}{2} \le -3 \Rightarrow x - 3 \le -6 \Rightarrow \mathbf{x \le -3}$$ 2. $$\frac{x - 3}{2} \ge 3 \Rightarrow x - 3 \ge 6 \Rightarrow \mathbf{x \ge 9}$$ **مجموعه جواب:** $\mathbf{(-\infty, -3] \cup [9, +\infty)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 93 ریاضی دهم - مسئله ۲ برای این‌که یک تابع درجه دوم $\mathbf{A = ax^2 + bx + c}$ **همواره مثبت** باشد (یعنی $\mathbf{A > 0}$)، سهمی باید **کاملاً بالای محور $\mathbf{x}$ها** قرار گیرد. این شرط دو جزء دارد: 1. **دهانه‌ی سهمی رو به بالا باشد:** $\mathbf{a > 0}$ 2. **ریشه حقیقی نداشته باشد:** $\mathbf{\Delta < 0}$ ### **گام ۱: بررسی ضریب $\mathbf{a}$** * عبارت: $A = x^2 + 3x + k$ * ضریب $athbf{x^2}$: $\mathbf{a = 1}$. چون $\mathbf{1 > 0}$، شرط دهانه (رو به بالا بودن) برقرار است. ### **گام ۲: اعمال شرط $\mathbf{\Delta < 0}$** * **ضرایب:** $a = 1, b = 3, c = k$ * **دلتا:** $\Delta = b^2 - 4ac$ $$\Delta = (3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k$$ برای این‌که ریشه‌ی حقیقی وجود نداشته باشد: $$\Delta < 0 \Rightarrow 9 - 4k < 0$$ **گام ۳: حل نامعادله بر حسب $\mathbf{k}$** $$9 < 4k \Rightarrow \frac{9}{4} < k$$ $$\mathbf{k > 2.25}$$ **پاسخ نهایی:** عبارت $A$ به ازای مقادیر $\mathbf{k > \frac{9}{4}}$ (یا $\mathbf{k > 2.25}$) همواره مثبت است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 93 ریاضی دهم - مسئله ۳ برای این‌که سهمی $\mathbf{y = mx^2 - x - 1}$ **همواره پایین محور $\mathbf{x}$ها** باشد (یعنی $\mathbf{y < 0}$)، سهمی باید: 1. **رو به پایین باز شود:** $\mathbf{m < 0}$ 2. **ریشه حقیقی نداشته باشد:** $\mathbf{\Delta < 0}$ ### **گام ۱: اعمال شرط $\mathbf{m < 0}$** * ضریب $athbf{x^2}$: $\mathbf{a = m}$. * شرط اول: $\mathbf{m < 0}$ ### **گام ۲: اعمال شرط $\mathbf{\Delta < 0}$** * **ضرایب:** $a = m, b = -1, c = -1$ * **دلتا:** $\Delta = b^2 - 4ac$ $$\Delta = (-1)^2 - 4(m)(-1) = 1 + 4m$$ برای این‌که ریشه‌ی حقیقی وجود نداشته باشد: $$\Delta < 0 \Rightarrow 1 + 4m < 0$$ **گام ۳: حل نامعادله بر حسب $\mathbf{m}$** $$4m < -1 \Rightarrow m < -\frac{1}{4}$$ ### **گام ۴: اشتراک شرایط** باید هر دو شرط برقرار باشند: 1. شرط دهانه: $\mathbf{m < 0}$ 2. شرط ریشه: $\mathbf{m < -\frac{1}{4}}$ اشتراک این دو شرط، $\mathbf{m < -\frac{1}{4}}$ است (زیرا هر عددی که از $-0.25$ کوچک‌تر باشد، قطعاً از $0$ نیز کوچک‌تر است). **پاسخ نهایی:** سهمی به ازای مقادیر $\mathbf{m < -\frac{1}{4}}$ (یا $\mathbf{m < -0.25}$) همواره پایین محور $x$ها قرار می‌گیرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 93 ریاضی دهم - مسئله ۴ ### **گام ۱: مدل‌سازی نامعادله** ما می‌خواهیم بدانیم ارتفاع ($h$) چه زمانی **بیشتر از $13 \text{ متر}$** خواهد بود: $$\mathbf{h > 13}$$ $$-5t^2 + 18t + 13 > 13$$ ### **گام ۲: حل نامعادله** عبارت را ساده می‌کنیم: $$-5t^2 + 18t > 0$$ با فاکتورگیری از $t$: $$t(-5t + 18) > 0$$ **گام ۳: پیدا کردن ریشه‌ها** * $\mathbf{t_1 = 0}$ (لحظه‌ی پرتاب از بالای ساختمان) * $-5t + 18 = 0 \Rightarrow 5t = 18 \Rightarrow \mathbf{t_2 = 3.6}$ (لحظه‌ای که جسم به ارتفاع اولیه بازمی‌گردد.) **گام ۴: تعیین علامت** عبارت درجه دوم ($P(t) = -5t^2 + 18t$) دارای ضریب $a = -5$ (منفی) است. * **قاعده:** بین ریشه‌ها $\mathbf{P(t)}$ **مخالف علامت $a$ (مثبت)** است. * **خواسته‌ی مسئله:** $\mathbf{P(t) > 0}$ (مثبت). * **ناحیه مثبت:** بین ریشه‌ها $\mathbf{0 < t < 3.6}$ ### **گام ۵: نتیجه‌گیری نهایی** * **شرط فیزیکی:** زمان باید مثبت باشد ($athbf{t > 0}$). در فاصله‌ی زمانی $\mathbf{0 < t < 3.6 \text{ ثانیه}}$، ارتفاع جسم بیشتر از $13 \text{ متر}$ خواهد بود. **پاسخ نهایی:** $\mathbf{(0, 3.6)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 93 ریاضی دهم - مسئله ۵ ### **گام ۱: مدل‌سازی نامعادله** ما می‌خواهیم بدانیم در چه زمان‌هایی، تعداد ضربان قلب ($y$) **بیشتر از $110$** است: $$\mathbf{y > 110}$$ $$\frac{15}{8}x^2 - 30x + 200 > 110$$ ### **گام ۲: استانداردسازی و ساده‌سازی** $$\frac{15}{8}x^2 - 30x + 200 - 110 > 0$$ $$\mathbf{\frac{15}{8}x^2 - 30x + 90 > 0}$$ برای سادگی، در $\frac{8}{15}$ ضرب می‌کنیم (چون مثبت است، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند): $$\frac{8}{15} \left( \frac{15}{8}x^2 - 30x + 90 > 0 \right)$$ $$x^2 - 16x + 48 > 0$$ ### **گام ۳: پیدا کردن ریشه‌های معادله $\mathbf{x^2 - 16x + 48 = 0}$** دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصل‌ضربشان $48$ و حاصل‌جمعشان $-16$ باشد. این دو عدد $-4$ و $-12$ هستند. $$(x - 4)(x - 12) = 0$$ * **ریشه‌ها:** $athbf{x_1 = 4}$ و $athbf{x_2 = 12}$ ### **گام ۴: تعیین علامت** * **ضریب $athbf{a}$:** $athbf{a = 1}$ (مثبت). سهمی رو به بالا باز می‌شود. * **قاعده:** ناحیه $\mathbf{> 0}$ در **خارج ریشه‌ها** است. $$\mathbf{x < 4} \quad \text{یا} \quad \mathbf{x > 12}$$ ### **گام ۵: اعمال محدودیت دامنه و نتیجه‌گیری** * **دامنه‌ی قابل قبول:** زمان $x$ محدود به $\mathbf{0 \le x \le 8}$ است. * **اشتراک جواب با دامنه:** * $(-\infty, 4) \cup (12, +\infty)$ (جواب نامعادله) * $[0, 8]$ (دامنه‌ی فیزیکی) $$\text{جواب معتبر} = ([0, 8]) \cap ( (-\infty, 4) \cup (12, +\infty) ) = \mathbf{[0, 4)}$$ **پاسخ نهایی:** * **زمان‌هایی که ضربان قلب بیشتر از ۱۱۰ است:** در بازه‌ی $\mathbf{0 \le x < 4 \text{ دقیقه}}$. * **آیا تمام جواب‌ها قابل قبول‌اند؟** $\mathbf{خیر}$. جواب $\mathbf{x > 12}$ و جواب $\mathbf{x = -14}$ (در صورت وجود) در دامنه‌ی فیزیکی $\mathbf{[0, 8]}$ که در صورت مسئله آمده است، **قابل قبول نیستند**.